Exemple de codage RSA

Énoncé

1. Sachant que \(c=3\) , \(p=3\) et \(q=11\) , calculer \(N\) et \(n\) .

2. L'expéditeur doit convertir chaque lettre de son message (de rang \(a\) dans l'alphabet) en un nombre \(b\) tel que \(a^c \equiv b \ [N]\) . Compléter le tableau suivant pour trouver le nombre \(b\) correspondant aux lettres \(\text {A, B, C, D}\) et \(\text E\) :

\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Lettre}& \text{Rang } a& a^c& b \equiv a^c \equiv ... \ [N]\\ \hline \text{A} &&&\\ \hline \text{B} &2&2^3=8&\\ \hline \text{C} &&&\\ \hline \text{D} &&&\\ \hline \text{E} &&&\\ \hline\end{array}\end{align*}\)  

3. Déterminer la valeur de \(d\) tel que \(1 \leqslant d et \(cd \equiv 1 \ [n]\) .

4. Pour décoder un nombre \(b\) , le destinataire calcule \(b'\) tel que \(b^d \equiv b' \ [N]\) , puis associe au nombre \(b\) la lettre de rang \(b'\) dans l'alphabet. Compléter le tableau suivant pour trouver les lettres correspondants aux nombres \(b\) donnés :

\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Nombre } b& b^d& b' \equiv b^d \equiv ... \ [N]& \text{Lettre}\\ \hline 1&&&\\ \hline 8&8^7=2 \,097 \,152&&\\ \hline 14&&&\\ \hline 26&&&\\ \hline 27&&&\\ \hline 31&&&\\ \hline\end{array}\end{align*}\)